École publique de Saint-Didier-sous-Riverie

Aire et périmètre

Nathalie Carron
Nathalie Garcia

Arpentage

Les longueurs mesurées sont indiquées au sol.

Il est 10 h 45. Les activités mathématiques débutent, différentes pour chaque section.

Aujourd’hui, les élèves de CM2 travaillent en autonomie, confrontés à une nouvelle énigme. Après avoir calculé la veille, le périmètre et l’aire du préau, ils s’interrogent cette fois sur les dimensions du gymnase.

Montre en main, ils s’organisent spontanément par souci d’efficacité : le temps est compté, ils doivent être de retour en classe à 11 h 30 et tiennent à revenir avec l’énigme résolue. Munis d’une règle, de l’arpenteur, d’une craie, de la clé du bâtiment et du matériel nécessaire à la prise de notes, le groupe d’élèves quitte rapidement l’école. D’un pas vif et décidé, ils traversent le village, formant un rang parfait, respectueux de la sécurité de chacun.

Une fois dans le gymnase, ils se déchaussent sans perdre une minute et, tous ensemble, se dirigent immédiatement vers un angle de la salle. Forts de leurs recherches précédentes sous le préau, ils se répartissent les tâches et effectuent les mesures, sans la moindre hésitation : un élève maintient une extrémité de l’arpenteur au sol, un autre le déroule et le tend le long du mur, le reste du groupe veille au bon déroulement de l’activité. A la craie, de manière discrète, les points de repères accompagnés des longueurs mesurées sont indiqués sur le sol.

La longueur est supérieure à 30 mètres mais inférieure à 40 mètres puisque la chaîne de l’arpenteur ne se déroule pas entièrement une quatrième fois. Comment mesurer cette longueur de moins de 10 mètres ? Un élève veut d’utiliser la grande règle jaune de la classe, mesurant un mètre. Un second propose de dérouler la chaîne de l’arpenteur afin d’avoir un support droit qui servira pour placer correctement la règle. Au fil de la discussion une troisième élève propose de compter les maillons de la chaîne. Puisqu’elle en connaît la longueur (20 cm) une simple multiplication suffira à calculer la longueur restante. Cet ainsi que tous les élèves comptent de 20 en 20 : 20, 40, 60, 100… 560, 580, 600. Ça y est, ils ont trouvé : « Cela mesure 600 mètres ! s’exclame un élève.

- 600 mètres, c’est beaucoup, répond un autre.

- Non, 600 c’est pour 6 mètres ! s’exclame un troisième

- Alors on a 10 m + 10 m + 10 m + 6 m = 36 m, conclut un quatrième. »

Quel travail d’équipe !

Pour la largeur c’est plus simple. En effet, la chaîne de l’arpenteur se déroule une première fois en entier puis une seconde fois dans sa quasi totalité : la poignée remonte le long du mur. Que faire ?

« On mesure tout avec la règle ?

- Non, c’est pas pratique pour une si petite longueur qui ne rentre pas, on a qu’à arrondir.

- De toutes façons, Rémi a dit que l’on mesure à peu près.

- On n'a qu’à arrondir à 20 mètres puisqu’on a 10 + 10. »

Les élèves rangent ensuite le matériel, effacent les marques à la craie et se regroupent autour du cahier d’un élève pour noter les premiers résultats : la largeur et la longueur du gymnase. Commencent alors les recherches et les discussions sur le calcul du périmètre et de l’aire : une représentation graphique, des opérations mathématiques, la référence à des problèmes résolus en classe …

La représentation graphique

Les élèves choisissent de découper une feuille de 36 carreaux sur 20 carreaux. Puisque les feuilles du cahier sont trop petites, les élèves se lancent dans un véritable puzzle. En effet, ils partent d’un rectangle de 20 carreaux sur 16 et ajoutent des bandelettes de papier afin d’élargir ce rectangle. Ils ajoutent donc 20 carreaux aux 16 précédents, afin d’obtenir 20 x 36.

Les opérations mathématiques

En s’appuyant sur l’expérience de la veille lors des mesures du préau, les élèves tentent de théoriser leurs calculs afin de trouver une formule mathématique :

« Hier on a trouvé 40, c’était 10 x 4.

- Je crois bien que c’était la longueur et la largeur…

- Oui, c’est ça : longueur multipliée par largeur !

- Mais c’est l’aire ou le périmètre qu’on calcule ?

- C’est facile : l’aire, c’est la multiplication et on dit m² pour le résultat.

- On pose 36 x 2 et on ajoutera le zéro pour dire multiplié par 20, cela ira plus vite.

- Ça y est, j’ai trouvé, dit Cécile, cela fait 720.

- Donc c’est 720 m² » conclut Roman.

Le besoin de recherches en groupe plus restreint se fait sentir : chacun s’empare de son propre cahier d’essai, prend des notes et réfléchit avec un camarade. Seule, Manali préfère continuer la démarche oralement, en échangeant avec Bruno et Roman.

Il ne reste plus que deux minutes, les élèves poursuivent leurs recherches jusqu’au dernier moment. Tout en se chaussant, ils s’interrogent encore sur le résultat des calculs. « On n’a pas trouvé mais c’est pas grave, on finira la semaine prochaine. Ah, non, on sera en Bretagne. On terminera en revenant du voyage. Il faut à tout prix qu’on trouve les résultats. » Certains interrompent le laçage des chaussures pour noter un dernier résultat ! Puis, leur vient l’idée de prévoir des mesures, des défis à relever pendant le long trajet en train qui les conduira chez leurs correspondants.

Enfin prêts, ils attendent devant la porte que le rang soit formé pour prendre dare-dare le chemin du retour et arriver à l’heure prévue à l’école.

(Comme je me suis chargée de la porte du gymnase, difficile à fermer, je n’ai pas pu faire le trajet de retour avec eux et écouter leurs conversations. Je ne serais pas étonnée d’apprendre qu’elles traitaient d’aires et de périmètres !)

Nathalie Carron et Nathalie Garcia

Préparation du matériel

Rassemblement des données

Réflexion individuelle